A geometria foi considerada uma ciência lógico-dedutiva, estabelecida sobrebases sólidas, desde o século IV a.C., quando foram publicados os Elementosde Euclides de Alexandria (c.325–265 a.C.). Esta obra foi tida como ummodelo de rigor e elegância na exposição durante mais de dois mil anos,pois desenvolve o assunto enunciando uma série de postulados e, a partirdestes, demonstra logicamente todas as afirmações feitas. É a obra maispublicada na história da humanidade, depois da Bíblia; dela foram feitas maisde mil edições.Já a aritmética foi estudada inicialmente desde um ponto de vista maisingênuo. Os inteiros positivos 1, 2, 3,... são tão comuns à nossa experiência,que foram chamados de números naturais. Os matemáticos trabalharam comeles sem sentir a necessidade de uma formalização rigorosa das idéias.O mesmo não aconteceu com os inteiros negativos. Eles foramrelativamente bem aceitos na coletividade matemática graças às suas diversasinterpretações e usus práticos, como representando dívidas, ou como medidasde temperaturas “abaixo de zero”, etc. Porém, as dúvidas quanto a sualegitimidade apareceram em diversas ocasiões. Em 1543, Michael Stifel (1548–1567) ainda os chamava de números absurdos e Girolamo Cardano (1501–1576),um contemporâneo de Stifel, os considerava soluções falsas de uma equação.CAPÍTULO 1. NÚMEROS INTEIROSA situação se agravou com a introdução dos números complexos noséculo XVI, quando estes tornaram-se necessários para compreender certoscasos que aparecem na resolução de equações de terceiro grau. Eles foramsendo aceitos aos poucos por causa de sua grande utilidade, tanto namatemática com em algumas de suas aplicações.Porém, as dúvidas quanto à sua legitimidade permaneceram e o próprioLeonhard Euler (1707–1783), que os utilizara magistralmente em muitos deseus trabalhos (vide pág. 103).Nas primeiras décadas do século XIX, um grupo de matemáticos inglesestentou colocar a álgebra em bases tão sólidas quanto se considerava fossem asda geometria. Para isso, eles tentaram compreender e explicitar “os axiomasda álgebra”. George Peacock (1791–1858), no seu Tratise on Algebra, publicadoem 1830 e ampliado a dois volumes em 1845, destaca pela primeira veza importância das chamadas “leis formais”, que passam a desempenhar opapel dos axiomas na álgebra. O seu contemporâneo e amigo, Augusto deMorgan (1806–1871) assumiu uma atitude parecida na sua Trigonometry anddouble algebra, publicada também em 1830. Com esta primeira tentativa deaxiomatização começa um longo processo em direção a álgebra abstrata.